KIMIA ANORGANIK 5

3.2 Point Groups

Sebuah objek geometris dapat memiliki beberapa elemen simetri secara bersamaan. Namun, simetri unsur yang tidak dapat dikombinasikan secara sewenang-wenang. Misalnya, jika hanya ada satu refleksi plane, tidak bisa doyongkan ke sumbu simetri (poros harus dalam plane atau tegak lurus). Kemungkinan kombinasi operasi simetri termasuk translasi/terjemahan disebut titik kelompok. Istilah ini mengungkapkan fakta bahwa kombinasi yang diperbolehkan memiliki satu titik unik (atau satu sumbu yang unik atau pesawat) yang umum untuk semua elemen simetri. Titik kelompok ketat memenuhi ketentuan yang ditetapkan oleh teori grup dalam matematika. Operasi Simetri unsur-unsur yang membentuk kelompok.

Ketika dua operasi simetri digabungkan, operasi simetri ketiga dapat berakibat secara otomatis. Sebagai contoh, kombinasi dari rotasi dua kali lipat dengan refleksi di plane tegak lurus sumbu rotasi secara otomatis hasil di pusat inversi di situs di mana sumbu silang plane. Itu tidak membuat perbedaan pada dua dari tiga operasi simetri yang digabungkan (2, m atau 1), sedangkan yang ketiga merupakan hasil (Gbr. 3.6).

Simbol Hermann-Mauguin Point-group

Sebuah simbol Hermann-Mauguin point-group terdiri dari daftar unsur-unsur simetri yang sesuai dengan aturan tertentu sedemikian rupa sehingga orientasi relatif mereka dapat juga diakui. Dalam simbol penuh Hermann-Mauguin semua elemen simetri, dengan sedikit pengecualian, yang terdaftar. Namun, karena lebih kompak, biasanya hanya  simbol Hermann-Mauguin pendek dikutip, dalam, simetri sumbu yang dihasilkan secara otomatis dari simetri plane yang disebutkan di atas yang tidak dinyatakan; simetri plane yang muncul tidak dihilangkan. Berlaku aturan berikut:

1. Orientasi elemen simetri disebut sistem koordinat xyz. Jika salah satu sumbu simetri    dibedakan dari yang lain oleh multiplisitas yang lebih tinggi (axis-pokok/axis principal) atau ketika hanya ada satu sumbu simetri, maka ditetapkan sebagai sumbu z.

2. Pusat inversi hanya disebutkan jika simetri yang muncul hanya elemen. kemudian simbol . Dalam kasus lain ada atau tidak adanya pusat inversi bisa diakui sebagai berikut: ada dan hanya muncul jika ada salah satu sumbu inversi dengan keserbaragaman yang aneh ( , dengan N ganjil) atau sumbu rotasi dengan keragaman dan refleksi tegak lurus dengan (N/m dengan N even) plane itu.

3. Unsur simetri terjadi berulang kali karena dikalikan dengan simetri operasi yang lain disebutkan hanya sekali.

Simak

Baca secara fonetik

 

Gambar. 3.6 Kombinasi dari dua kali lipat dan rotasi sebuah refleksi di pesawat tegak lurus ke
sumbu rotasi menghasilkan inversi

4. Sebuah refleksi plane yang tegak lurus ke sumbu simetri yang ditunjuk oleh sebuah garis miring, misalnya 2/m ('dua per m') = refleksi bidang tegak lurus ke sumbu rotasi dua kali lipat. Namun, refleksi plane tegak lurus sumbu rotasi dengan multiplicities yang aneh dari biasanya tidak ditunjuk dalam bentuk 3/m, tetapi sebagai sumbu inversi seperti ; 3/m dan  mengekspresikan fakta identik.

5. Orientasi timbal balik antara unsur-unsur simetri yang berbeda dinyatakan oleh urutan yang tercantum. Orientasi tersebut mengacu pada sistem koordinat. Jika simetri sumbu keserbaragaman tertinggi adalah dua kali lipat, urutannya adalah x-y-z, yaitu unsur simetri dalam arah x disebutkan pertama dll; arah referensi untuk refleksi palne adalah normal untuk plane. Jika ada sumbu dengan multiplisitas yang lebih tinggi, disebutkan pertama; karena bertepatan dengan konvensi dengan sumbu z, urutan berbeda, yaitu z-x-d. Unsur simetri berorientasi pada arah x terjadi berulang kali karena sedang dikalikan dengan keanekaragaman yang lebih tinggi dari sumbu z, membagi dua arah antara x dan berikutnya arah simetri-setara adalah arah yang ditunjukkan oleh d. Lihat contoh pada Gambar. 3.7.

6. Grup titik Cubic memiliki empat tiga sumbu (3 atau ) yang saling berpotongan di sudut
dari 109.47^o. Mereka sesuai dengan empat diagonal tubuh kubus (arah x+y+z, -x+y-z, -x-y+z dan x-y-z, tambah vectorially). Dalam arah x, y, dan z ada 4sumbu, atau 2, dan ada plane bisa refleksi tegak lurus terhadapnya. Dalam enam arah x+y, x-y, x+z,… sumbu dua kali lipat dan refleksi plane yang dapat muncul. Urutan petunjuk acuan dalam simbol Hermann-Mauguin adalah z, x+y+z, x+y. Terjadinya 3 di posisi kedua simbol (arah x+y+z) memberikan bukti dari grup point kubik. Lihat Gambar. 3.8.

Gambar. 3.7 Contoh dari tiga titik kelompok. Huruf –huruf  di bawah simbol Hermann- Mauguin menunjukkan ke arah yang simetri elemen tampak

Gambar. 3.8 Contoh dari tiga titik kelompok kubik 

 

Gambar. 3.9 Angka Simetris geometris dan simbolpoin grup, di setiap kasus, simbol singkat Hermann-Mauguin diberikan kiri, dan simbol Schoenflies ke kanan

Gambar 3,8 dan 3,9 daftar simbol poin grup dan menggambarkan simbol poin grup dengan angka geometri. Dalam Selain simbol Hermann-Mauguin pendek simbol Schoenflies juga tercantum. simbol Hermann-Mauguin penuh untuk beberapa group point/kelompok titik adalah:

short           full s                     hort   full

mmm             2/m2/m2/m                m      2/m

4/mmm          4/m2/m2/m                m m   4/m 2/m

6/mmm          6/m2/m2/m                m       2/m

Simbol Schoenflies Point-group

Sistem referensi koordinat diambil dengan sumbu utama vertikal (sumbu z). Simbol Schoenflies

agak kompak-mereka hanya menetapkan simetri minimal elemen yang muncul dalam cara berikut (simbol Hermann-Mauguin yang sesuai diberikan dalam kurung):

C_i = pusat inversi adalah unsur simetri hanya [ ].

C_s = refleksi plane adalah unsur simetri [m].

C_N = sumbu rotasi N-lipat adalah hanya simetri elemen [N].

C_NI (N ganjil) = sumbu rotasi N-lipat dan pusat inversi [ ].

D_N = tegak lurus ke rotasi sumbu N-lipat ada sumbu N rotasi ganda [N 2 jika nilai N adalah ganjil; N22 jika N even].

C_Nh = ada satu sumbu rotasi N-kali lipat (vertikal) dan satu refleksi bidang horizontal [N/m].

C_Nv= Sumbu rotasi N-lipat (vertikal) berada pada garis persimpangan N refleksi vertikal
plane [Nm jika nilai N adalah ganjil; Nmm jika N even C_∞v = simetri kerucut [∞ m].

D_Nh = di samping sebuah rotasi (vertikal) N-kali lipat terdapat N sumbu axis horisontal ganda, N refleksi plane vertikal dan satu refleksi bidang horizontal [  2 / m jika N adalah ganjil;
N/m2 /m2/m, untuk jangka pendek N/mmm, jika N even]. D_∞h = simetri dari silinder [∞/m2/m,
untuk pendek ∞ /mm atau  m].

D_Nd = sumbu rotasi vertikal N-lipat berisi sumbu rotoreflection 2N-lipat, sumbu rotasi N horisontal ganda yang terletak di yang membagi dua sudut antara bidang refleksi vertikal N
[M2m dengan M=2 x N]. S_Mv memiliki arti yang sama seperti D_Nd dan dapat digunakan sebagai pengganti, tetapi sudah keluar penggunaan.

S_N = hanya ada sumbu rotoreflection N-lipat (vertikal) (lihat Gambar. 3.3). Simbol S_N diperlukan hanya jika N habis dibagi 4. Jika N bahkan tetapi tidak habis dibagi oleh 4, C_N/2i dapat digunakan
sebaliknya, mis C_5i = S₁₀. Jika N ganjil, simbol C_Nh umumnya digunakan sebagai pengganti S_N, misalnya C_3h = S₃.

T_d = simetri dari [ 3m] tetrahedron.

O_h = simetri dari sebuah segi delapan dan kubus [4/m 2 m, pendek m m].

T_h = simetri dari sebuah segi delapan tanpa sumbu empat kali lipat [2/m , pendek m ].

I_h = simetri Icosahedron sebuah dan sebuah pigura berduabelas segi pentagonal [2/m , pendek m ].
O, T dan I = sebagai Oh, Th dan Ih, tapi tanpa refleksi plane [masing-masing 432, 23 dan 235].

K_h = simetri bola [2/m∞, pendek m∞].