BAB 3 STATISTIKA DASAR 1 STKIP MUHAMMADIYAH SORONG 2012-2013

BAB III

UKURAN SENTRAL DAN DISPERSI DARI DATA HASIL EKSPERIMEN

            Gambaran data hasil eksperimen dapat dilihat melalui parameter-parameter ukur dari data tersebut. Parameter ini dibagi dalam dua kelompok, yakni parameter yang menggambarkan ukuran kecenderungan nilai sentral (measures of central tendency) dan parameter yang menggambarkan dispersi (variasi) data.

3.1.      PARAMETER NILAI SENTRAL

           

            Parameter nilai sentral meliputi :

-          Rata-rata hitung

-          Modus

-          Median

-          Quartile

-          Desil

-          Presentil

            Jika data hasil eksperimen diperlakukan secara individu maka rumus dari parameter nilai-nilai sentral diatas adalah sebagai berikut :

a. Rata-Rata Hitung

                                                                                                                    ( 3 . 1 )

b.  Modus

            Modus             =  Nilai data yang paling sering muncul

                                    =  Nilai data yang frekwensinya paling tinggi

 

c.  Median

Median  =  Nilai data yang berada di tengah-tengah (setelah data diurutkan dari kecil ke besar)

                 Dalam hal ini ada dua kemungkinan, yakni :

-          Untuk n yang ganjil   :  Median = X_(n+1)/2

-          Untuk n yang genap  :  Median = (X_n/2 + X_n/2+1)/2

d.   Quartile

Quartile  =  Nilai data yang berada di “perempatan”

                               ( Setelah data diurutkan dari kecil ke besar)

       Ada tiga macam nilai quartile yakni :

-          Q1 = Nilai data pada urutan ke “seperempat” dari seluruh data

-          Q2 = Nilai data pada  urutan  ke “dua-perempat”  dari  seluruh  data          

                              Median

-          Q3 = Nilai data pada  urutan ke “tiga-perempat” dari seluruh data

e.    Desil

       Desil  =  Nilai data pada urutan ke “sepersepuluhan”

       Jadi ada 10 macam desil, yakni : D1,D2……….D10

f.     Persentil

Persentil = Nilai data pada urutan ke “seper-seratusan”

       Jadi ada 100 macam nilai presentil, yakni P₁, P₂,……….P₁₀₀

       Jika data hasil eksperimen dikelompokan dalam bentuk DF, maka rumus untuk menghitung nilai-nilai sentral diatas adalah sebagai berikut :

a.   Rata-rata hitung

       a.1. Metoda Panjang

                                                                   

              

               Dimana   Xi      =  Nilai tengah dari kelas ke i dengan i = 1,2,3……..k

                       K        =  Banyaknya kelas

                       fi        =  Frekwensi kelas ke I

a.2. Metoda Singkat :

 

                                                                                                       

Dimana : A      =  Nilai sembarang, biasanya diambil sama dengan  nilai  X_i   yang mempunyai frekwensi paling tinggi.

               Ui      =  (Xi – A)/c

                                 c     =  Lebar kelas

b. Modus :

            

              Dimana TKB_modus  =  Tepi Kelas Bawah dari kelas modus

                              ₁  =  Selisih    antara   frekwensi    kelas    modus   dengan            frekwensi  kelas  sebelumnya 

  ₂  =  Selisih   antara   frekwensi   kelas    modus    dengan  frekwensi  kelas  sesudah  kelas  modus

c. Median 

                         =  Frekwensi Kumulatif sampai  dengan  kelas sebelum

                                     kelas  median

                f_m                =  Frekwensi kelas median

                c                              =  Lebar kelas

                n                  =  Banyaknya data (ukuran sampel)

d. Quartile, Desil dan Presentil

           

Rumus quartil, desil dan presentil pada dasarnya adalah sama dengan rumus median, yakni :

            - Quartil : Q1 terjadi pada

                             Perhatikan bahwa Q₂ adalah sama dengan median

            - Desil              : Terjadi pada 0,1n ; 0,3n ; ……………..dst

            - Persentil        : Terjadi pada 0,01n ; 0,02n ; 0,03n ;……0,50n ; 0,51n;………dst

3.2.      PENGUKURAN DISPERSI

           

            Dispersi adalah parameter ukur yang menjelaskan variabilitas dari data. Dispersi yang paling sederhana adalah “range” yakni selisih antara nilai maximum dengan nilai minimum. Parameter ukur dispersi yang paling sering digunakan adalah suatu besaran yang sering disebut dengan “simpangan baku” atau “deviasi standar”.

            Rumus dari simpangan baku adalah sebagai berikut :

- Untuk data individu :

                                                                                ( 3 . 11 )

atau :

                                                                            ( 3 . 12 )

                                                                                   

- Untuk data kelompok

                                                                   ( 3 . 13 )

Atau :

                                                                      ( 3 . 14 )

                                                                                   

Dimana :

            s           = Simpangan baku

            X_i           = Nilai data I

            X         = Nilai rata-rata kelas

            f_i          = Frekwensi dari data ke I

            n          = Banyaknya data

            c          = Lebar kelas

            U_i           = (X_i – A)/c

A     = Nilai sembarang ; biasanya diambil sama dengan nilai x_i yang  frekwensinya paling tinggi.

Untuk ukuran sampel yang kecil, yakni n < 30, simpangan baku dihitung dengan rumus sebagai berikut :

                                                                                          ( 3. 15 )

                                                                                                                       

Simpangan baku yang ditulis dengan rumus ( 3.15 ) diatas adalah merupakan estimator yang tidak bias terhadap nilai simpangan baku populasi  . Besaran n - 1 biasa disebut dengan derajat kebebasan yang menjelaskan bahwa pada  waktu  sudah dihitung maka derajat kebebasan dari data berkurang satu (satu data harganya sudah tidak bebas lagi). Perhatikan bahwa untuk harga n yang besar, nilai s yang dihitung dengan rumus ( 3.11) atau ( 3.15 ) relatif tidak akan berbeda.

            Dispersi yang sudah dikemukakan diatas disebut dengan dispersi absolut. Jika dispersi absolut dibagi dengan nilai sentral  maka akan dihasilkan besaran yang dinamakan dispersi relatif. Dispersi relatif yang banyak digunakan adalah “koefisien variasi”.  Yakni simpangan baku dibagi dengan rata-rata.

                                                                                    ( 3 . 16 )

3.3.      DERAJAT KEMIRINGAN DAN KERUNCINGAN DARI DISTRIBUSI

            Derajat kemiringan distribusi data ; disebut “skewnes”; diukur melalui koefisien kemiringan yang salah satu rumusnya adalah sebagai berikut :

                                                                  ( 3 . 17 )

                                                           

            Jika  nilai KK positip maka distribusi akan miring kekanan, sebaliknya jika KK negatip distribusi akan miring kekiri dan jika KK mendekati nol maka distribusi akan mendekati simetris ( distribusi normal )

Gambar 3.1. Kemiringan Distribusi

Derajat keruncingan distribusi yang disebut dengan “kurtosis” diukur dengan koefisien keruncingan yang salah satu rumusnya adalah sebagai berikut :

                                                                                      ( 3 . 18 )

                                                                                                           

Dimana Q = “semi interquartile range” = ( Q₃-Q₁ )/2

            Untuk distribusi normal harga koefisien yang dihitung dengan rumus (3.18)  akan mempunyai nilai 0,263. Gambar 3.2. menjelaskan tiga bentuk dari keruncingan distribusi yang salah satunya adalah distribusi normal.

Gambar 3.2. Keruncingan Distribusi