STATISTIKA MATEMATIKA 3 STKIP MUHAMMADIYAH SORONG 2013

TEORI PELUANG

1.    Field

Dalamaljabar, field adalah satu set F yang merupakan grup komutatif terhadap dua operasi yang sesuai , biasanya berupa penjumlahan  dan perkalian yang dilambangkan dengan + dan ·,   field juga biasa disebutring komutatifyang berisiinvers perkalianuntuk setiap elemennol, elemen-elemennolmembentuksebuah kelompokabelianperkalianyang tepat serta memiliki hukumdistributif.

Misalkan field adalalah bilangan rasional, terdiri dari angkayang dapat ditulissebagai pecahan ,dimana a dan badalah bilangan bulat, danb≠0. Aditifkebalikan darifraksitersebuthanya - , daninvers perkalianadalah  .Diketahui pula bahwa

Pembuktian field dengan hukumdistributif yaitu

Contoh:

 P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Tunjukkan apakah Ring Komutatif tersebut adalah Field.
Penyelesaian :
Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif.
Syarat dari Field adalah Ring Komutatif yang mempunyai unsur balikan atau invers terhadap perkalian, dengan kata lain:
∀ a ∈ P, ∃ a^-1∈ P, sedemikian sehingga a . a^-1 = a-¹ . a = e
Telah diketahui identitas dari P adalah e = ganjil

•  Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih ganjil ∈ P,
  sehingga genap.ganjil = genap ≠ e

•  Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih genap ∈ P,
  sehingga genap.genap = genap ≠ e

maka P tidak ada unsur balikan atau invers.
Jadi dapat di simpulkan bahwa P = {genap, ganjil} dimana P ∈ Z, adalah suatu Ring Komutatif yang juga merupakan  daerah integral, namun P = {genap, ganjil} bukan merupakan Field.

2.    Sigma Field

a. Sigma Aljabar

Dalamanalisis matematika, sebuahσ-aljabar (sigma-aljabar, σ-field, sigma-field) adalah kumpulansetyang memenuhi sifat tertentu. Penggunaan utama dariσ-aljabar adalahdalam definisitindakan, khusus, koleksiset. Konsep ini pentingdalam analisis matematikasebagai dasaruntuk integrasiLebesguedan dalam teoripeluang, di manakonsep itu ditafsirkansebagaikumpulanperistiwayangdapat diberikanpeluang.

Definisi tersebutadalah bahwasebuahσ-aljabar lebih dari satu setXadalah kumpulan yangtidak kosongΣdarihimpunan bagian dariXyang ditutupdi bawahkomplemendan serikatdpt dihitungdarianggotanyadan berisiXitu sendiri. Ini adalahaljabarset, diselesaikan untukmencakup operasicountablyterbatas. Pasangan(X, Σ) juga merupakanbidangset, disebut sebagai ruangterukur.

b. Definisidan sifat

Misalkan Xadalah beberapaset, dan2Xsimbolis mewakilisetkekuatannya. KemudiansubsetΣ ⊂2Xdisebutσ-aljabar jika memenuhitiga sifat berikut:

1.      Σtidak kosong: Ada setidaknyasatuA⊂X dalamΣ.

2.      Σtertutup di bawahkomplementasi: Jika AadalahΣ, kemudian jadi adalahyang melengkapi, X/A.

3.      Σtertutup di bawahserikatdihitung: JikaA1, A2, A3, ...yangdiΣ, kemudian jadi adalahA=A1∪A2∪A3∪ …

Dariaksioma ini, maka σ-aljabar di bawahjugadihitung (dengan menerapkan hukumDe Morgan).

Hal ini juga mengikutibahwaXitu sendiri danhimpunan kosongkeduanyaberada dalam posisi Σ, karena dalam sifat(1) Σtidak kosong, Anda dapatmemilih beberapaA⊂X. Dan dalm sifat(2) Anda tahu bahwaX/A jugamerupkanΣ. Dalam sifat(3) A∪(X/A) =X adalahΣ. Dan akhirnya, karena XadalahΣ, Anda tahusifat (2) yang melengkapinya, himpunan kosongjuga dalamΣ.

σ-aljabar kadang-kadang dinotasikan dengan menggunakan huruf kapital kaligrafi, atau jenis huruf Fraktur. Jadi (X, Σ) dapat dinotasikan sebagai atau . Hal ini berguna untuk menghindari situasi di mana huruf Σ mungkin susah untuk operasi penjumlahan.

c. σ-aljabar yang dihasilkan olehfungsi

Jikafadalah fungsidarihimpunan XkehimpunanYdan Badalahσ-aljabar himpunan bagian dariY, makaσ-aljabar yang dihasilkan olehfungsi f, dinotasikan denganσ(f​​).
Jelas, fungsifdarihimpunan XkehimpunanYdiukursehubungan denganσ-aljabar ΣsubsetdariXjika dan hanya jikaσ(f​​) adalah bagian dariΣ.

Satusituasi umum, dan dipahamisecara default jikaBtidak ditentukansecara eksplisit, adalah ketikaYadalahruang danBmetrikatautopologiadalahsetBorelpada Y.

Contoh

Misalkan Xmenjadisetapapun, makaberikut ini adalahσ-aljabar atas X:

Sethanya terdiri darihimpunankosong danhimpunan X, yang disebut minimal σ-aljabar atasX.

KekuatansetX, yang disebut diskritσ-aljabar.

Koleksihimpunan bagian dariXyangdihitungatau yangmelengkapidpt dihitung(yangberbeda darikekuatansetXjika dan hanya jikaXtak terhitung). Iniadalahσ-aljabar yang dihasilkan olehX.

Jika{} Σλadalah setσ-aljabar atas Xdiindeks olehλmakapersimpangansemuaΣλmerupakanσ-aljabar atasX.

3.    Ruang Sampel dan Peristiwa

Ruang sampel didefinisikan sebagai himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu eksperimen.Sebuah peristiwa adalah himpunan bagian dari suatu ruang sampel.Sebuah peristiwa terjadi apabila ada beberapa atau satu anggota yang merupakan hasil dari eksperimen.

Contoh:

a.       Eksperimen pengundian dua mata uang, dengan ruang sampel = { AA,AG, GA, GG} dengan A + angka dan G = Gambar.

Peristiwa yang mungkin adalah:

P = Peristiwa munculnya dua gambar berturut – turut, dengan P = {GG}

Q = Peristiwa munculnya sebuah angka, dengan Q = {AG, GA} dll

Karena sebuah peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel S, maka ada tiga kemungkinan yang akan terjadi:

1.      S itu sendiri adalah sebuah peristiwa

2.      Ø juga merupakan peristiwa

3.      Beberapa hasil yang mungkin dari S dapat juga dipandang sebagai sebuah peristiwa.

Dengan menggunakan operasi-operasi himpunan, jika A dan B peristiwa-peristiwa maka:

1.       adalah peristiwa yang terjadi, jika A terjadi atau B terjadi (atau kedua – duanya terjadi)

2.       adalah peristiwa yang terjadi jika A tejadi dan B terjadi

3.      A^c adalah peristiwa yang terjadi jika A tidak terjadi.

b.      Sebuah dadu dilempar 120 kali. Dari kejadian tersebut, diperoleh hasil eksperimen atau frekuensi kejadian sebagai berikut :

Angka 1 sebanyak 20 kali, angka 2 sebanyak 19 kali, angka 3 sebanyak 18 kali, angka 4 sebanyak 21 kali, angka 5 sebanyak 17 kali, angka 6 sebanyak 25 kali.

Tentukan banyaknya jumlah frekuensi jika :

1.    Ada sebuah kejadian munculnya angka genap.

2.    Ada sebuah kejadian munculnya angka ganjil.

3.    Ada sebuah kejadian munculnya angka kurang dari 4.

Jawab :

Untuk menjawab pertanyaan diatas, pengertian peluang dapat diterjemahkan menggunakan frekuensi relatif kejadian yang didefinisikan sebagai :

Kejadian dikatakan saling asing jika kejadian tersebut tidak dapat terjadi bersama-sama.

Jika ruang sampel suatu percobaan dengan kejadian dasar S = {Si}, maka peluang

timbulnya kejadian dasar S = {Si} dengan i = 1,2,…,n adalah :

Pi = P[{Si}], i = 1,2,…,n dengan sifat :

Jika A1,…,Ak adalah kejadian dalam S yang saling asing maka

4.    Konsep Peluang

Definisi : Ruang sampel, S, adalah himpunan semua hasil mungkin dari suatu percobaan. Kejadian, E, adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Peluang suatu kejadian, P(E), adalah rasio dari banyaknya titik kejadian dan ruang sampel, atau

                        ;

dimana n(E) dan n(S), berturut-turut, adalah banyaknya titik kejadian dan ruang sampel.

Aksioma dan Sifat-sifat peluang:

1.     

2.     

3.      P(S)=1

4.      Untuk kejadian A dan B,

5.      Jika kejadian A dan B saling asing maka

6.      Kejadian A dan kejadian Bdikatakan saling bebas jika

Definisi peluang yang lain merujuk pada frekuensi relatif. Misalkan suatu percobaan dengan ruang sampel S diulang-ulang. Misalkan n(E) banyaknya kejadian E yang terjadi selama n pengulangan. Peluang kejadian E adalah

Contoh soal :

B dan G pergi berburu dengan cara menembak. Pada waktu yang disepakati, B dan G secara bersamaan menembak sasaran tertentu. Peluang tembakan B mengenai sasaran adalah 0.7 sedangkan peluang tembakan G (bebas dari tembakan B)

mengenai sasaran adalah 0.4.

·         Berapa peluang sebuah tembakan mengenai sasaran?

·         Berapa peluang sasaran tertembak?

Jawab :

Misalkan B kejadian B menembak sasaran

Misalkan G kejadian G menembak sasaran

Misalkan T kejadian sebuah tembakan mengenai sasaran

Misalkan S kejadian sasaran tertembak

5.    Peluang Bersyarat

Untuk dua kejadian A dan B, peluang bersyarat dari A, adalah peluang A dimana B telah terjadi (atau tidak terjadi).

Peluang bersyarat A dimana B didefinisikan sebagai,

Jika kejadian A dan B saling bebas (independen), P(A ∩ B) = P(A)P( B).
Sehingga:

·        

·        

Jika kejadian A dan B saling terpisah, P(A ∩ B) = 0.
Sehingga, jika P(B) > 0, maka

Contoh:

Di sebuah daerah, peluang bahwa suatu hari akan berawan adalah 0.4. Diketahui juga bahwa peluang suatu hari berawan dan hujan adalah 0.3. Jikalau hari ini berawan, berapakah peluang bahwa hari ini akan hujan?

Marilah kita lambangkan kejadian hari berawan dengan A dan kejadian hari hujan dengan H.

Contoh lain:

Di sebuah kota, rasio (perbandingan) antara pria dan wanita adalah 6:4. Tiga puluh persen dari pria adalah vegetarian (hanya makan sayur). Berapakah prosentase dari penduduk kota itu yang merupakan pria vegetarian?

Marilah kita lambangkan peluang kejadian sembarang penduduk kota itu yang kita pilih adalah pria dengan L dan peluang kejadian sembarang penduduk kota itu yang kita pilih adalah vegetarian dengan V.

Jadi, 18 persen dari penduduk kota itu adalah pria vegetarian.

Oleh :Devi Nuryati dan Siti Rovita

6.    Teorema Bayes

Teorema Bayes, diambil dari nama Rev. Thomas Bayes, menggambarkan hubungan antara peluang bersyarat dari dua kejadian A dan B sebagai berikut:

Contoh aplikasi dari Teorema Bayes

Di sebuah negara, diketahui bahwa 2% dari penduduknya menderita sebuah penyakit langka.97% dari hasil tes klinik adalah positif bahwa seseorang menderita penyakit itu. Ketika seseorang yang tidak menderita penyakit itu dites dengan tes yang sama, 9% dari hasil tes memberikan hasil positif yang salah.

Jika sembarang orang dari negara itu mengambil test dan mendapat hasil positif, berapakah peluang bahwa dia benar-benar menderita penyakit langka itu?

Secara sepintas, nampaknya bahwa ada peluang yang besar bahwa orang itu memang benar-benar menderita penyakit langka itu. Karena kita tahu bahwa hasil test klinik yang cukup akurat (97%). Tetapi apakah benar demikian?Marilah kita lihat perhitungan matematikanya.

Marilah kita lambangkan informasi di atas sebagai berikut:

• B = Kejadian tes memberikan hasil positif.
• B = Kejadian tes memberikan hasil negatif.
• A = Kejadian seseorang menderita penyakit langka itu.
• A = Kejadian seseorang tidak menderita penyakit langkat itu.

Kita ketahui juga peluang dari kejadian-kejadian berikut:

• P (A) = 2%
• P (A) = 98%
• P (B | A) = 97%
• P (B | A) = 9%

Dengan menggunakan rumus untuk peluang bersyarat, dapat kita simpulkan peluang dari kejadian-kejadian yang mungkin terjadi dalam tabel di bawah ini:

	A (2%)	A (98%)
B	Positif yang benar P (B ∩ A) = P (A) × P (B /A) = 2% × 97% = 0,0194	Positif yang salah P (B ∩ A) = P (A) × P (B | A) = 98% × 9% = 0,0882
B	Negatif yang salah P (B ∩ A) = P (A) × P (B /A) = 2% × 3% = 0,0006	Negatif yang benar P (B ∩ A) = P (A) × P (B | A) = 98% × 91% = 0,8918

Misalnya seseorang menjalani tes klinik tersebut dan mendapatkan hasil positif, berapakah peluang bahwa ia benar-benar menderita penyakit langka tersebut?
Dengan kata lain, kita mencoba untuk mencari peluang dari A, dimana B atau P (A / B).

Dari tabel di atas, dapat kita lihat bahwa P (A / B) adalah peluang dari positif yang benar dibagi dengan peluang positif (benar maupun salah), yaitu 0,0194 / (0,0194 + 0,0882) = 0,1803.

Kita dapat juga mendapatkan hasil yang sama dengan menggunakan rumus teorema Bayes di atas:

Hasil perhitungan ini sangat berbeda dengan intuisi kita di atas.Peluang bahwa orang yang mendapat hasil tes positif itu benar-benar menderita penyakit langka tidak sebesar yang kita bayangkan.Cuma ada sekitar 18% kemungkinan bahwa dia benar-benar menderita penyakit itu.

Mengapakah demikian?

Ketika mengira-ngira peluangnya, seringkali kita lupa bahwa dari seluruh populasi negara itu, hanya 2% yang benar-benar menderita penyakit langka itu.Jadi, walaupun hasil tes adalah positif, peluang bahwa seseorang menderita penyakit langka itu tidaklah sebesar yang kita bayangkan.

Kita bisa juga meninjau situasi di atas sebagai berikut.Misalnya populasi negara tersebut adalah 1000 orang. Hanya 20 orang yang menderita penyakit langka itu (2%). 19 orang dari antaranya akan mendapat hasil tes yang positif (97% hasil positif yang benar). Dari 980 orang yang tidak menderita penyakit itu, sekitar 88 orang juga akan mendapat hasil tes positif (9% hasil positif yang salah).

Jadi, 1000 orang di negara itu dapat kita kelompokkan sebagai berikut:

• 19 orang mendapat hasil tes positif yang benar
• 1 orang mendapat hasil tes negatif yang salah
• 88 orang mendapat hasil tes positif yang salah
• 892 orang mendapat hasil tes negatif yang benar

Bisa kita lihat dari informasi di atas, bahwa ada (88 + 19) = 107 orang yang akan mendapatkan hasil tes positif (tidak perduli bahwa dia benar-benar menderita penyakit langka itu atau tidak). Dari 107 orang ini, berapakah yang benar-benar menderita penyakit?Hanya 19 orang dari 107, atau sekitar 18%.