TEORI PELUANG
1.
Field
Dalamaljabar, field adalah satu set F yang merupakan grup komutatif terhadap dua operasi yang sesuai , biasanya
berupa penjumlahan dan perkalian yang
dilambangkan dengan + dan ·, field juga biasa disebutring
komutatifyang berisiinvers perkalianuntuk setiap elemennol,
elemen-elemennolmembentuksebuah kelompokabelianperkalianyang tepat serta memiliki hukumdistributif.
Misalkan field adalalah bilangan rasional, terdiri dari angkayang dapat
ditulissebagai pecahan
,dimana a dan
badalah bilangan bulat, danb≠0. Aditifkebalikan
darifraksitersebuthanya -
, daninvers perkalianadalah
.Diketahui pula bahwa
Pembuktian
field dengan hukumdistributif yaitu
Contoh:
P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring
Komutatif. Tunjukkan apakah Ring Komutatif tersebut adalah Field.
Penyelesaian :
Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif.
Syarat dari Field adalah Ring Komutatif yang mempunyai unsur balikan atau invers terhadap perkalian, dengan kata lain:
∀ a ∈ P, ∃ a-1∈ P, sedemikian sehingga a . a-1 = a-1 . a = e
Telah diketahui identitas dari P adalah e = ganjil
Penyelesaian :
Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif.
Syarat dari Field adalah Ring Komutatif yang mempunyai unsur balikan atau invers terhadap perkalian, dengan kata lain:
∀ a ∈ P, ∃ a-1∈ P, sedemikian sehingga a . a-1 = a-1 . a = e
Telah diketahui identitas dari P adalah e = ganjil
- Ambil
sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P,
pilih ganjil ∈ P,
sehingga genap.ganjil = genap ≠ e
- Ambil
sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih
genap ∈ P,
sehingga genap.genap = genap ≠ e
maka P tidak ada unsur balikan atau invers.
Jadi dapat di simpulkan bahwa P = {genap, ganjil} dimana P ∈ Z, adalah suatu Ring Komutatif yang juga merupakan daerah integral, namun P = {genap, ganjil} bukan merupakan Field.
Jadi dapat di simpulkan bahwa P = {genap, ganjil} dimana P ∈ Z, adalah suatu Ring Komutatif yang juga merupakan daerah integral, namun P = {genap, ganjil} bukan merupakan Field.
2.
Sigma Field
a. Sigma Aljabar
Dalamanalisis matematika, sebuahσ-aljabar (sigma-aljabar, σ-field, sigma-field) adalah kumpulansetyang memenuhi sifat tertentu. Penggunaan utama dariσ-aljabar adalahdalam definisitindakan, khusus, koleksiset. Konsep ini pentingdalam analisis
matematikasebagai dasaruntuk integrasiLebesguedan dalam teoripeluang, di manakonsep itu
ditafsirkansebagaikumpulanperistiwayangdapat diberikanpeluang.
Definisi tersebutadalah bahwasebuahσ-aljabar lebih dari satu setXadalah kumpulan yangtidak kosongΣdarihimpunan bagian dariXyang ditutupdi
bawahkomplemendan serikatdpt dihitungdarianggotanyadan berisiXitu sendiri. Ini adalahaljabarset, diselesaikan untukmencakup
operasicountablyterbatas. Pasangan(X, Σ) juga merupakanbidangset, disebut sebagai ruangterukur.
b. Definisidan sifat
Misalkan Xadalah beberapaset, dan2Xsimbolis mewakilisetkekuatannya. KemudiansubsetΣ ⊂2Xdisebutσ-aljabar jika memenuhitiga sifat berikut:
1.
Σtidak kosong: Ada setidaknyasatuA⊂X dalamΣ.
2.
Σtertutup di bawahkomplementasi: Jika AadalahΣ, kemudian jadi adalahyang melengkapi, X/A.
3. Σtertutup di
bawahserikatdihitung: JikaA1, A2, A3, ...yangdiΣ, kemudian jadi adalahA=A1∪A2∪A3∪ …
Dariaksioma ini, maka σ-aljabar di bawahjugadihitung (dengan menerapkan hukumDe Morgan).
Hal ini juga mengikutibahwaXitu sendiri
danhimpunan kosongkeduanyaberada dalam posisi Σ, karena dalam sifat(1) Σtidak kosong, Anda dapatmemilih beberapaA⊂X. Dan dalm sifat(2) Anda tahu bahwaX/A jugamerupkanΣ. Dalam sifat(3) A∪(X/A) =X adalahΣ. Dan akhirnya, karena XadalahΣ, Anda tahusifat (2) yang melengkapinya, himpunan kosongjuga dalamΣ.
σ-aljabar kadang-kadang dinotasikan dengan menggunakan huruf
kapital kaligrafi, atau jenis huruf Fraktur. Jadi (X, Σ) dapat dinotasikan
sebagai
atau
. Hal ini berguna untuk menghindari situasi di mana
huruf Σ mungkin susah untuk operasi penjumlahan.
c. σ-aljabar yang dihasilkan olehfungsi
Jikafadalah fungsidarihimpunan XkehimpunanYdan
Badalahσ-aljabar himpunan bagian dariY, makaσ-aljabar yang dihasilkan olehfungsi f, dinotasikan denganσ(f).
Jelas, fungsifdarihimpunan XkehimpunanYdiukursehubungan denganσ-aljabar ΣsubsetdariXjika dan hanya jikaσ(f) adalah bagian dariΣ.
Jelas, fungsifdarihimpunan XkehimpunanYdiukursehubungan denganσ-aljabar ΣsubsetdariXjika dan hanya jikaσ(f) adalah bagian dariΣ.
Satusituasi umum, dan dipahamisecara default jikaBtidak ditentukansecara
eksplisit, adalah ketikaYadalahruang
danBmetrikatautopologiadalahsetBorelpada Y.
Contoh
Misalkan Xmenjadisetapapun, makaberikut ini
adalahσ-aljabar atas X:
Sethanya terdiri darihimpunankosong danhimpunan X, yang disebut minimal σ-aljabar atasX.
KekuatansetX, yang disebut diskritσ-aljabar.
Koleksihimpunan bagian dariXyangdihitungatau
yangmelengkapidpt dihitung(yangberbeda darikekuatansetXjika dan hanya jikaXtak
terhitung). Iniadalahσ-aljabar yang dihasilkan olehX.
Jika{} Σλadalah setσ-aljabar atas Xdiindeks olehλmakapersimpangansemuaΣλmerupakanσ-aljabar atasX.
3.
Ruang Sampel dan Peristiwa
Ruang sampel didefinisikan sebagai himpunan semua hasil yang
mungkin dari suatu eksperimen.Sebuah peristiwa adalah himpunan bagian dari
suatu ruang sampel.Sebuah peristiwa terjadi apabila ada beberapa atau satu
anggota yang merupakan hasil dari eksperimen.
Contoh:
a.
Eksperimen
pengundian dua mata uang, dengan ruang sampel = { AA,AG, GA, GG} dengan A +
angka dan G = Gambar.
Peristiwa yang mungkin adalah:
P = Peristiwa munculnya dua gambar berturut – turut, dengan P =
{GG}
Q = Peristiwa munculnya sebuah angka, dengan Q = {AG, GA} dll
Karena sebuah
peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel S, maka ada tiga kemungkinan
yang akan terjadi:
1.
S itu sendiri
adalah sebuah peristiwa
2.
Ø juga
merupakan peristiwa
3.
Beberapa hasil
yang mungkin dari S dapat juga dipandang sebagai sebuah peristiwa.
Dengan menggunakan operasi-operasi himpunan, jika A dan B
peristiwa-peristiwa maka:
1.
adalah peristiwa yang terjadi, jika A terjadi
atau B terjadi (atau kedua – duanya terjadi)
2.
adalah peristiwa yang terjadi jika A tejadi
dan B terjadi
3.
Ac
adalah peristiwa yang terjadi jika A tidak terjadi.
b.
Sebuah dadu dilempar 120 kali. Dari kejadian tersebut,
diperoleh hasil eksperimen atau frekuensi
kejadian sebagai berikut :
Angka
1 sebanyak 20 kali, angka 2 sebanyak 19 kali, angka 3 sebanyak 18 kali, angka 4
sebanyak 21 kali, angka 5 sebanyak 17 kali, angka 6 sebanyak 25 kali.
Tentukan
banyaknya jumlah frekuensi jika :
1.
Ada sebuah
kejadian munculnya angka genap.
2.
Ada sebuah
kejadian munculnya angka ganjil.
3.
Ada sebuah kejadian munculnya angka kurang dari 4.
Jawab :
Untuk menjawab pertanyaan diatas, pengertian
peluang dapat diterjemahkan menggunakan frekuensi relatif kejadian yang
didefinisikan sebagai :
Kejadian dikatakan saling asing jika kejadian tersebut
tidak dapat terjadi bersama-sama.
Jika
ruang sampel suatu percobaan dengan kejadian dasar S = {Si}, maka peluang
timbulnya
kejadian dasar S = {Si} dengan i = 1,2,…,n adalah :
Pi =
P[{Si}], i = 1,2,…,n dengan sifat :
Jika
A1,…,Ak adalah kejadian dalam S yang saling asing maka
4.
Konsep Peluang
Definisi
: Ruang sampel, S, adalah himpunan semua hasil mungkin dari suatu percobaan.
Kejadian, E, adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Peluang suatu kejadian,
P(E), adalah rasio dari banyaknya titik kejadian dan ruang sampel, atau
;
dimana n(E) dan n(S), berturut-turut, adalah banyaknya titik
kejadian dan ruang sampel.
Aksioma dan
Sifat-sifat peluang:
1.
2.
3.
P(S)=1
4.
Untuk kejadian
A dan B,
5.
Jika
kejadian A dan B saling asing maka
6.
Kejadian
A dan kejadian Bdikatakan saling bebas jika
Definisi peluang yang lain merujuk pada frekuensi relatif. Misalkan
suatu percobaan dengan ruang sampel S diulang-ulang. Misalkan n(E) banyaknya
kejadian E yang terjadi selama n pengulangan. Peluang kejadian E adalah
Contoh soal :
B dan G pergi
berburu dengan cara menembak. Pada waktu yang disepakati, B dan G secara
bersamaan menembak sasaran tertentu. Peluang tembakan B mengenai sasaran adalah
0.7 sedangkan peluang tembakan G (bebas dari tembakan B)
mengenai
sasaran adalah 0.4.
·
Berapa peluang
sebuah tembakan mengenai sasaran?
·
Berapa peluang
sasaran tertembak?
Jawab :
Misalkan B
kejadian B menembak sasaran
Misalkan G
kejadian G menembak sasaran
Misalkan T kejadian
sebuah tembakan mengenai sasaran
Misalkan S
kejadian sasaran tertembak
5.
Peluang Bersyarat
Untuk dua kejadian A dan B,
peluang bersyarat dari A, adalah peluang A dimana B telah
terjadi (atau tidak terjadi).
Peluang bersyarat A dimana B
didefinisikan sebagai,
Jika kejadian A dan B saling
bebas (independen), P(A ∩ B) = P(A)P(
B).
Sehingga:
Sehingga:
·
·
Jika
kejadian A dan B saling terpisah, P(A ∩ B) =
0.
Sehingga, jika P(B) > 0, maka
Sehingga, jika P(B) > 0, maka
Contoh:
Di
sebuah daerah, peluang bahwa suatu hari akan berawan adalah 0.4. Diketahui juga
bahwa peluang suatu hari berawan dan hujan adalah 0.3. Jikalau hari ini
berawan, berapakah peluang bahwa hari ini akan hujan?
Marilah
kita lambangkan kejadian hari berawan dengan A dan kejadian hari hujan
dengan H.
Contoh lain:
Di
sebuah kota, rasio (perbandingan) antara pria dan wanita adalah 6:4. Tiga puluh
persen dari pria adalah vegetarian (hanya makan sayur). Berapakah prosentase
dari penduduk kota itu yang merupakan pria vegetarian?
Marilah
kita lambangkan peluang kejadian sembarang penduduk kota itu yang kita pilih
adalah pria dengan L dan peluang kejadian sembarang penduduk kota itu
yang kita pilih adalah vegetarian dengan V.
Jadi,
18 persen dari penduduk kota itu adalah pria vegetarian.
Oleh :Devi
Nuryati dan Siti Rovita
6.
Teorema Bayes
Teorema Bayes, diambil dari
nama Rev. Thomas Bayes, menggambarkan hubungan antara peluang bersyarat dari
dua kejadian A dan B sebagai berikut:
Contoh aplikasi dari Teorema Bayes
Di
sebuah negara, diketahui bahwa 2% dari penduduknya menderita sebuah penyakit
langka.97% dari hasil tes klinik adalah positif bahwa seseorang menderita
penyakit itu. Ketika seseorang yang tidak menderita penyakit itu dites dengan
tes yang sama, 9% dari hasil tes memberikan hasil positif yang salah.
Jika
sembarang orang dari negara itu mengambil test dan mendapat hasil positif,
berapakah peluang bahwa dia benar-benar menderita penyakit langka itu?
Secara
sepintas, nampaknya bahwa ada peluang yang besar bahwa orang itu memang
benar-benar menderita penyakit langka itu. Karena kita tahu bahwa hasil test
klinik yang cukup akurat (97%). Tetapi apakah benar demikian?Marilah kita lihat
perhitungan matematikanya.
Marilah
kita lambangkan informasi di atas sebagai berikut:
- B = Kejadian tes memberikan hasil positif.
- B = Kejadian tes memberikan hasil negatif.
- A = Kejadian seseorang menderita penyakit langka itu.
- A = Kejadian seseorang tidak menderita penyakit langkat itu.
Kita
ketahui juga peluang dari kejadian-kejadian berikut:
- P (A) = 2%
- P (A) = 98%
- P (B | A) = 97%
- P (B | A) = 9%
Dengan
menggunakan rumus untuk peluang bersyarat, dapat kita simpulkan peluang dari
kejadian-kejadian yang mungkin terjadi dalam tabel di bawah ini:
A (2%)
|
A (98%)
|
|
B
|
Positif yang
benar
P (B ∩ A) = P (A) × P (B /A) = 2% × 97% = 0,0194 |
Positif yang
salah
P (B ∩ A) = P (A) × P (B | A) = 98% × 9% = 0,0882 |
B
|
Negatif yang
salah
P (B ∩ A) = P (A) × P (B /A) = 2% × 3% = 0,0006 |
Negatif yang
benar
P (B ∩ A) = P (A) × P (B | A) = 98% × 91% = 0,8918 |
Misalnya
seseorang menjalani tes klinik tersebut dan mendapatkan hasil positif,
berapakah peluang bahwa ia benar-benar menderita penyakit langka tersebut?
Dengan kata lain, kita mencoba untuk mencari peluang dari A, dimana B atau P (A / B).
Dengan kata lain, kita mencoba untuk mencari peluang dari A, dimana B atau P (A / B).
Dari
tabel di atas, dapat kita lihat bahwa P (A / B) adalah peluang dari positif
yang benar dibagi dengan peluang positif (benar maupun salah), yaitu 0,0194 /
(0,0194 + 0,0882) = 0,1803.
Kita
dapat juga mendapatkan hasil yang sama dengan menggunakan rumus teorema Bayes
di atas:
Hasil
perhitungan ini sangat berbeda dengan intuisi kita di atas.Peluang bahwa orang
yang mendapat hasil tes positif itu benar-benar menderita penyakit langka tidak
sebesar yang kita bayangkan.Cuma ada sekitar 18% kemungkinan bahwa dia
benar-benar menderita penyakit itu.
Mengapakah
demikian?
Ketika
mengira-ngira peluangnya, seringkali kita lupa bahwa dari seluruh populasi
negara itu, hanya 2% yang benar-benar menderita penyakit langka itu.Jadi,
walaupun hasil tes adalah positif, peluang bahwa seseorang menderita penyakit
langka itu tidaklah sebesar yang kita bayangkan.
Kita
bisa juga meninjau situasi di atas sebagai berikut.Misalnya populasi negara
tersebut adalah 1000 orang. Hanya 20 orang yang menderita penyakit langka itu
(2%). 19 orang dari antaranya akan mendapat hasil tes yang positif (97% hasil
positif yang benar). Dari 980 orang yang tidak menderita penyakit itu, sekitar
88 orang juga akan mendapat hasil tes positif (9% hasil positif yang salah).
Jadi,
1000 orang di negara itu dapat kita kelompokkan sebagai berikut:
- 19 orang mendapat hasil tes positif yang benar
- 1 orang mendapat hasil tes negatif yang salah
- 88 orang mendapat hasil tes positif yang salah
- 892 orang mendapat hasil tes negatif yang benar
Bisa
kita lihat dari informasi di atas, bahwa ada (88 + 19) = 107 orang yang akan
mendapatkan hasil tes positif (tidak perduli bahwa dia benar-benar menderita
penyakit langka itu atau tidak). Dari 107 orang ini, berapakah yang benar-benar
menderita penyakit?Hanya 19 orang dari 107, atau sekitar 18%.
Thumbs up, I have never seen the knowledge about which you shown in the post absolutely very attractive post for everyone which is related to the job, recently my friend Neni told me about this but I did not consider it seriously.
ReplyDeletepolypropylene pipe
Hamna Sayyad, thank you for reading my post, this post for leterature my students, you can pick it up if you need to. I am proud of you. success for you.
ReplyDeleteAplikasi matematik untuk penarikan sampel dan kesimpulan, surprise ni pak.
ReplyDeleteKalau ada proyek, ngjak2 lagi pak. hehe....
ufiqsmile > insya Allah.....
ReplyDelete